The number of entertainment programs (that are directed at young adults) is steadily increasing. 괄호안에 있는 that절이 programs를 수식하고 있기 때문에 복수로 받아야 합니다. 문장 뒤의 "is steadily increasing"이 The number of 를 주어로 받는 동사이기 때문에 "is"이고요!
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